tolong dong satu soal lagi dikumpul besok.. Buktikan bahwa : Misalkan P(n) adalah pernyataan 1·2+2·3+3·4+ ... +n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3

Langkah I:
========

Akan dibuktikan bahwa untuk n = 1 berlaku n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3.

Bukti:
--------

Jika kita subtitusikan n = 1 ke ruas kiri, maka akan kita peroleh n(n + 1) = 1(1 + 1) = 1 x 2 = 2.

Jika kita subtitusikan n = 1 ke ruas kanan, maka akan kita peroleh n(n + 1)(n + 2)/3 = 1(1 + 1)(1 + 2)/3 = 1 x 2 x 3 / 3 = 2.

Nah, kalau kamu perhatikan ternyata subtitusi n = 1 ke kedua ruas persamaan memberikan hasil yang sama. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa persamaan 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3 berlaku untuk n = 1.

Langkah II:
=========

Jika diasumsikan persamaan 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3 berlaku untuk n = k, dimana k adalah sebarang bilangan asli yang lebih besar dari 1 (k > 1), maka 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ k(k + 1) = k(k+1)(k+2)/3.

Langkah III:
=========

Akan dibuktikan bahwa persamaan tersebut juga berlaku untuk n = k + 1, dimana k adalah sebarang bilangan asli yang lebih besar dari 1 (k > 1).

Dengan kata lain, akan dibuktikan bahwa:
1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ (k + 1)((k + 1) + 1) = (k + 1)((k+1) + 1)((k + 1) + 2)/3
1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3 ... (*)

Bukti:
-------

Oleh karena 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2)/3, maka

1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2)
1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = k(k + 1)(k + 2)/3 + 3(k + 1)(k + 2)/3
1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3

Jika kamu perhatikan, ternyata uraian di atas menghasilkan persamaan yang sama dengan persamaan (*). Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa persamaan 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ k(k + 1) = k(k+1)(k+2)/3 juga berlaku untuk n = k + 1, dimana k adalah sebarang bilangan asli yang lebih besar dari 1 (k > 1).

Nah, berdasarkan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa untuk sebarang bilangan asli n berlaku 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n(n + 1) = n(n+1)(n+2)/3.

Semoga membantu :)